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122 Jahre altes Matherätsel in goldbesetzten Heliumtröpfchen sichtbar gemacht
Gleichartige elektrische Ladungen stoßen sich ab. Sind sie auf die Oberfläche einer Kugel beschränkt, entstehen komplizierte Muster, deren günstigste Anordnung mathematisch schwer zu bestimmen ist. Forschern ist es nun gelungen, solche Ladungsverteilungen in ultrakalten Heliumtröpfchen direkt sichtbar zu machen. Goldnanopartikel markieren dabei die Ladungsorte und zeigen sowohl theoretisch erwartete Muster als auch geometrisch bedingte Defekte.
Innsbruck (Österreich). Verteilt man mehrere gleich geladene Teilchen auf einer Kugel, wollen sie möglichst weit voneinander entfernt sein. Welche Positionen die gegenseitige Abstoßung insgesamt am stärksten vermindern, hängt von der Teilchenzahl ab. Die Aufgabe ist schwieriger als eine regelmäßige Anordnung auf einer ebenen Fläche, weil die Krümmung bestimmte Muster verhindert.
Dieses sogenannte Thomson-Problem stammt aus dem Jahr 1904 und überdauerte das inzwischen widerlegte Atommodell, aus dem es hervorging. Für wenige Ladungen existieren exakte Lösungen, bei größeren Gruppen ist die Suche nach der energieärmsten Anordnung meist auf aufwendige Berechnungen angewiesen. Das Problem ist eng mit einer mathematischen Herausforderung verwandt, die Stephen Smale 1998 formulierte.
Forscher der University of Leicester um Prof. Shengfu Yang haben die theoretischen Anordnungen nun gemeinsam mit weiteren Wissenschaftlern experimentell untersucht. Statt die Ladungen unmittelbar zu messen, haben sie deren Positionen auf nahezu kugelförmigen Heliumtröpfchen mit winzigen Goldpartikeln markiert und nach dem Auftreffen auf eine Unterlage rekonstruiert.
Für den Versuch erzeugte das Team Nanotröpfchen aus suprafluidem Helium, das sich bei Temperaturen nur wenige Zehntel Grad über dem absoluten Nullpunkt nahezu reibungsfrei verhält. Ein Elektronenstrahl sorgte dafür, dass die Tröpfchen mehrere positive Ladungszentren enthielten. Diese beweglichen Ladungen sammeln sich nahe der Oberfläche und stoßen sich dort gegenseitig ab.
Danach durchquerten die Tröpfchen Golddampf. Die Goldatome lagerten sich an den Ladungszentren an und bildeten dort jeweils ein einfach geladenes Nanopartikel aus durchschnittlich rund 700 Goldatomen. Beim Aufprall auf einen Probenträger verdampfte das Helium, während die Goldteilchen an ihren Positionen zurückblieben. Ein Transmissionselektronenmikroskop machte aus diesen Spuren zweidimensionale Bilder.
„Dadurch können wir diese Anordnungen konservieren und abbilden, nachdem das Helium verdampft ist“, erklärt Prof. Paul Scheier von der Universität Innsbruck (UIBK).
Die Forscher haben 25 voneinander getrennte Teilchenabdrücke ausgewertet, die jeweils fünf bis 36 Ladungszentren repräsentieren. Um ihre räumliche Anordnung zu prüfen, projizierten sie die bereits theoretisch berechneten dreidimensionalen Muster auf eine Ebene und verglichen diese mit den Goldspuren. Bei kleinen Tröpfchen stimmten die Beobachtungen eng mit den vorhergesagten energieärmsten Konfigurationen überein.
Damit lässt sich erstmals für diese Versuchsbedingungen im Realraum nachvollziehen, wie die Ladungen auf einer gekrümmten Oberfläche geordnet sind. Der Versuch liefert allerdings keinen allgemeinen mathematischen Beweis für das Thomson-Problem. Er macht physikalische Anordnungen sichtbar, die sich mit berechneten Lösungen vergleichen lassen.
„Am meisten begeistert mich, dass sich dadurch das übliche Verhältnis von Theorie und Experiment umkehrt. Anstatt dass die Mathematik lediglich vorhersagt, was ein Experiment zeigen sollte, können wir nun die Natur Lösungen erzeugen und die Mathematik erklären lassen, was wir beobachten“, sagt Prof. Shengfu Yang.