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Zwei Koordinaten ordnen verschiedene Unendlichkeiten der Mathematik
Nicht jede Unendlichkeit ist gleich groß. Ein neuer mathematischer Beweis zeigt, wie sich bestimmte unendliche Funktionsmengen mithilfe zweier Koordinaten vergleichen lassen, statt sie auf einer einzigen Zahlenleiter anzuordnen. Die einfache Ordnung gilt allerdings nur unter besonderen Grundannahmen der Mengenlehre und löst das bekannte Rätsel der Kontinuumshypothese nicht.
Wien (Österreich). Unendlich ist in der Mathematik keine einheitliche Größe. Die natürlichen Zahlen lassen sich vollständig durchnummerieren, bei den reellen Zahlen zwischen null und eins ist das dagegen nicht möglich. Ihre Menge ist deshalb mächtiger, obwohl beide unendlich viele Elemente enthalten.
Die Frage nach einer möglichen Zwischenstufe ist als Kontinuumshypothese bekannt. Nach den Arbeiten von Kurt Gödel und Paul Cohen lässt sich diese Vermutung mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre weder beweisen noch widerlegen. Ein anderer mathematischer Rahmen könnte nun helfen, bestimmte Beziehungen zwischen Unendlichkeiten klarer zu beschreiben.
Der Mathematiker William Chan von der Technischen Universität Wien (TU Wien) hat untersucht, wie sich die Größen unendlicher Mengen vergleichen lassen. Entscheidend ist dabei, ob jedem Element einer Menge genau ein Element der anderen zugeordnet werden kann. Dieser Vergleich funktioniert nicht nur mit endlichen Sammlungen.
„Dasselbe kann man auch mit unendlich großen Mengen machen“, erklärt William Chan.
Beispielsweise lässt sich jeder natürlichen Zahl eindeutig eine gerade Zahl zuordnen, ohne dass dabei Elemente übrig bleiben. Die beiden unendlichen Zahlenmengen sind deshalb gleich mächtig, obwohl die geraden Zahlen nur einen Teil der natürlichen Zahlen ausmachen. Bei den reellen Zahlen ist eine solche vollständige Zuordnung zu den natürlichen Zahlen dagegen unmöglich.
Für die übliche Einordnung unendlicher Mengen spielt das Auswahlaxiom eine zentrale Rolle. Es erlaubt, jede Menge in eine sogenannte Wohlordnung zu bringen, bei der jede nicht leere Teilmenge ein erstes Element hat. Damit lassen sich die Mächtigkeiten aller Mengen wie Sprossen einer Leiter miteinander vergleichen.
„Doch was passiert, wenn man das Auswahlaxiom weglässt?“, fragt William Chan.
Stattdessen verwendet Chan das Axiom der Determiniertheit, das mit dem Auswahlaxiom unvereinbar ist. Es betrifft theoretische Spiele, in denen zwei Spieler abwechselnd eine unendliche Zahlenfolge bilden. Die Grundannahme besagt, dass einer der Spieler für jedes solche Spiel eine Gewinnstrategie hat, wodurch andere mathematische Ordnungen möglich werden.
Im Mittelpunkt stehen dabei die Mengen aller möglichen Abbildungen zwischen zwei unendlichen Mengen. Ihre Mächtigkeit wird durch zwei Angaben bestimmt, die Größe des Ausgangsbereichs und die Größe des Zielbereichs der Abbildungen. Diese beiden Angaben lassen sich wie Koordinaten auf einer Landkarte behandeln.